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MSC Seminar: Enumerative Geometrie

Beschreibung

    Hermann Schubert entwickelt in seinem Buch "Kalkül der abzählenden Geometrie", erschienen 1879, eine effektive Methode, um Zählprobleme in der Geometrie zu lösen. Zum Beispiel lässt sich damit die Anzahl der getwisteten kubischen Kurven im Raum berechnen, welche tangential zu 12 quadrischen Flächen sind. Das Ergebnis ist 5.819.539.783.680. Ebenso beeindruckend ist die Anzahl der quadrischen Flächen im Raum, welche tangential zu 9 gegebenen quadrischen Flächen sind. Diese Zahl ist 666.841.048. Lange Zeit war ungewiss, ob seine Methode mathematisch fundiert ist, denn sie basiert auf einem Kalkül, für welches es zunächst keine soliden Beweise gab. Hilbert formulierte es als sein 15. Problem eine solide mathematische Grundlage für das Schubertkalkül zu entwickeln, was schließlich zu bedeutenden Fortschritten in der enumerativen Geometrie geführt hat, z.B. zur Schnitttheorie. Wir wollen in diesem Seminar das ursprüngliche Kalkül von Schubert verstehen und auf einige Zählprobleme anwenden, bevor wir uns mit den mathematischen Konzepten befassen, welche dieses Kalkül rigoros machen. Jede der vielen berechneten Zahlen in Schubert's Buch konnte später als korrekt bestätigt werden.

    Organisatorisches

      Das Seminar findet Dienstags von 16-18 Uhr in Raum 04-422 statt. 

      Vorträge

        Folgende Liste von Vorträgen haben wir uns überlegt. Erfahrungsgemäß verschiebt sich der Zeitplan tendenziell nach hinten, da Vortragende oft länger brauchen.

        26.04.2016
        Hilfrich :  Einführung in das Schubertkalkül I
        03.05.2016
        Hilfrich :  Einführung in das Schubertkalkül II Vortragsaufzeichnungen
        10.05.2016
        Vogel :  Schubertkalkül für Zählprobleme von Kegelschnitten I
        17.05.2016
        Vogel :  Schubertkalkül für Zählprobleme von Kegelschnitten II Vortragsaufzeichnungen
        24.05.2016
        Lang :  Schubertkalkül für Zählprobleme von Quadriken Vortragsaufzeichnungen
        31.05.2016
        Petrova :  Satz von Bézout
        07.06.2016
        Petrova :  Bézout mit Verallgemeinerung auf P^n
        14.06.2016
        Felten :  Grassmannsche, Schubertzykel
        12.07.2016
        Felten : über Pieri- und Giambelliformeln
        19.07.2016
        Pfluger : Riemann-Hurwitz via Thompolynome
         

        Literatur

          1. "Kalkül der abzählenden Geometrie" von Hermann Schubert, Springer Berlin Heidelberg, 384S.
          2. "Problem 15. Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus", by Steven Kleiman, in F.Browder Hilberts problems, Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, Held at Northern Illinois University 1974, S. 445-482.
          Artikelaktionen