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MSC Seminar: Birational Geometry of Degenerations

Beschreibung

    Wer heutzutage von birationaler Geometrie spricht, kommt nicht umhin das Minimal-Model-Programm zu erwähnen. Auch diese sehr mächtige und umfangreiche mathematische Theorie hatte ihren Ursprung in konkreten Untersuchungen, handfester Geometrie sozusagen. In diesem Seminar befassen wir uns mit solch handfester Geometrie, es wird gebastelt und geschraubt, geflippt, gefloppt und modifiziert, vieles von Hand. Das Buch zum Seminar von Friedman gilt als Vorläufer des Minimal-Model-Programms und ist damit sehr wertvoll, um sowohl die späteren Entwicklungen einordnen zu können, als auch zu lernen wie man konkret vorgeht ohne gleich mit abstrakten Sätzen auf ein Problem zu schlagen. Im Buch geht es nicht nur um birationale Geometrie von Dreifaltigkeiten, sondern auch um deren Zusammenspiel mit entartenden Familien von Flächen, denn eine ein-Parameter Familie von Flächen ist eine Dreifaltigkeit. Die zentralen Fragen des Seminars sind:

    Geben eine Familie komplexer Flächen über der punktierten Kreisscheibe,

    1. existiert eine Fortsetzung der Familie über den Ursprung?
    2. wie stehen verschiedene Wahlen von Fortsetzungen in Beziehung zueinander?
    3. gibt es eine besonders schöne, womöglich kanonische Fortsetzung?

     

    Organisatorisches

      Die Doodleumfrage ergab als optimalen Termin für das Seminar Montags von 12-14 Uhr. Es findet in Raum 04-422 statt.

      Es gibt einen Dropbox-Order mit Erklärungen von als Vorkenntnis vorausgesetzten Begriffen des Seminars, falls weitere Teilnehmer Zugriff wünschen, bitte einfach mir per Email mitteilen: ruddat ät uni.mainz.de

      Folgende Begriffe wurden den mit Namenskürzeln angegebenen Teilnehmern zur Vorbereitung zugeteilt: Birationale Abbildung / Modifikation (AS); Geschlecht einer Kurve (LP); Kodaira Dimension (SF); rationale Doppelpunktsingularität (sowohl isoliert als auch entlang einer Kurve) (JE); Gorenstein Singularität (PL); Normalenbündel (AS); Selbstschnittzahl einer Kurve in einer Fläche (LP); K3 Flächen und Enriquesflächen (SF); komplexe Tori und abelsche Flächen (JE); Kodairaflächen (PL)
      Für viele Begriffe, insbesondere was Flächen angeht, ist die Referenz [4] hilfreich.
       

      Vorträge

        Folgende Liste von Vorträgen haben wir uns überlegt. Erfahrungsgemäß verschiebt sich der Zeitplan tendenziell nach hinten, da Vortragende oft länger brauchen.

        19.10.2015
        Einführungsvortrag (Helge Ruddat)
        26.10.2015
        Semistabile Reduktion, Literaturreferenz [2] (Philipp Licht)
        02.11.2015
        Kulikov Klassifikation von K3 Entartungen, Literaturreferenz [3] (Simon Felten)
        7.12.2015
        Das konvex-geometrische Problem, welches semistabiler Reduktion zugrunde liegt, nach Knudsen-Mumford-Waterman, [2]-Kapitel-3 (Helge Ruddat) 
        14.12.2015
        Endliche Erzeugtheit von des relativen kanonischen Rings, [1]-Kapitel-II (Liya Petrova)
        04.01.2015
        Elliptische Dreifaltigkeiten, [1]-Kapitel-III (Alexander Seifer)
        11.01.2015
        -
        18.01.2015
        Alle minimalen birationalen Modelle maximaler K3 Entartungen sind durch elementare Transformationen verbunden, [1]-Kapitel-IV (Helge Ruddat)
        26.01.2015
        -
        01.02.2015
        Minus-eins-Satz, [1]-Kapitel-V (van Straten)

         

        Literatur

          1. "Birational Geometry of Degenerations" by Robert Friedman, Birkhäuser, 1983,amazon link
          2. "Toroidal Embeddings I" by G. Kempf; F. Knudsen; D. Mumford; B. Saint-Donat, 1973
          3. "Degenerations of K3 surfaces and Enriques' surfaces" by V. Kulikov, journal article: Math. USSR Izv.11, 957–989 (1977)
          4. "Compact Complex Surfaces" by W. Barth, K. Hulek, C. Peters, A. van de Ven, Springer: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics

           

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